六西格玛试验设计之响应曲面设计

一、Box-Behnken设计

响应面设计(Response surface design)是利用合理的六西格玛实验设计方法，通过实验获得一定的数据，利用多元二次回归方程拟合因子与响应值之间的函数关系，通过回归方程的分析寻求最优工艺参数，解决多变量问题的统计方法。

响应面设计的另一种方法是Box-Behnken设计。天行健咨询与分析这种设计安排是因子的每个测试点取在立方体边的中点。三因素Box-Behnken设计点示意图如图所示。这种设计比中心复合设计(CCD)需要的点数更少，而且还具有近似旋转。最适合的测试区域是球形域(不是立方体域)，但它最大的缺点是设计没有顺序性，上一批的测试结果数据对下一批测试几乎没有用，每批测试都要完全重做。当因子数为3时，测试次数为12+3 = 15；当因子数为4时，测试次数为24+3=27。除非测试次数极其重要，否则通常不采用这种设计。

图  Box-Behnken设计布局

二、响应曲面设计的计划

响应面设计的整个计划应该包括两个阶段。一旦确定的因素数量很少，就可以准备响应面分析法。首先考虑识别当前测试区域的状态，是已经接近或达到能使响应变量达到最优值的最优区域，还是目前还远离最优区域。以看大尺寸(看小尺寸完全一样)的问题为例来讨论。一般来说，响应变量的最大值是在曲面的“峰”部达到的，所以首先要仔细分析数据是否出现曲率，或者数据拟合线性回归方程时方差分析表中的“失配”现象是否显著。如果可以得出弯曲或错位不严重的结论，则说明当前测试区域的位置离最佳区域还很远。就像爬山一样，如果脚是斜的但还是平的，说明此时还只是在半山腰，离山顶还很远。这时候第一个任务就是先沿着最陡的方向往上爬，然后建立详细的曲面方程，描述它一定能到达山顶时的数学规律。因此，可以得出结论，响应面测试的两个阶段如下:

第一阶段:用最速上升搜索寻找实验的最优区域。此时回归方程为线性，等高线近似为平行直线。选择与等高线垂直的方向作为“最陡上升路径”，沿着这个方向做实验(每个选择的位置只做一次)。如果响应变量的值继续增加，它将继续向前移动，直到响应变量的值减少。选择刚刚得到的最佳值作为新一批响应面设计的中心点，移至下面的第二阶段。

第二阶段:在已确定为最优区域的范围内进行响应面实验。根据实际情况安排CCD设计或Box-Behnken设计，在CCD设计中有三种可能的选择:ccc(中心复合序贯设计)、CCI(中心复合有界设计)或CCF(中心复合曲面设计)。