六西格玛项目分析阶段：假设检验

假设检验是六西格玛团队项目中应用最广泛的统计工具，比如判断以下结论是否正确：“新员工收到的投诉会比老员工多”、“改进后平均产量有所增加”、“垫片180度时的断裂强度高于160度时”等等。由于观测样本数据总是有误差的，我们不能根据简单样本统计的结果得出结论，必须使用严格的统计假设检验方法才能得到准确的判断结论。下面重点介绍假设检验的基本概念和简单的检验方法。

一、假设检验

参数估计和假设检验是统计推断的两个重要方面。参数估计以“数”为输出结果，假设检验以“判断”为输出结果。

假设检验：根据所获样本， 运用统计分析方法对总体X的某种假设做出接受或拒绝的判断。

在实际工作中，当样本均值不等于总体均值或样本均值不等于样本均值时，应考虑两种可能：由于采样错误所致；两者来自不同的总体。如何做出判断？统计上这个问题是通过假设检验来解答。

二、基本概念和步骤

假设检验的步骤可以总结如下：

(1)建立假设。假设检验的第一步是建立假设，通常需要建立两个假设：原假设H0和备选假设H1。

对总平均值执行检验时，有三种类型的假设：

前两个是单边假设检验，第二个是双边假设检验。假设检验的任务是根据样本x1、x2、…、xx判断原来的假设是否为真。

(2)选择检验统计，确定拒收域的形式。如果总体的平均值为检验，则样本平均值x用于导出检验统计量；如果正态总体的方差为检验，则从样本方差s2中导出检验统计量。

根据统计量的值，整个样本空间分为拒绝域W和非拒绝域a两部分，当样本统计量的值落在拒绝域时，原假设被拒绝，否则原假设不能被拒绝。因此，被拒绝的域必须在假设检验中找到。

根据可选的假设，拒绝域可以是双边的或单边的。在确定了拒绝域的类型后，还应确定临界值C，临界值C应根据允许的错误概率来确定。

(3)在检验中给出显著性水平a。在判断原始假设是否为真时，由于样本的随机性，判断中可能存在两种错误，如下表所示。第一种错误是当原假设为真时，由于样本的随机性，样本的观测值落入拒绝域W，从而做出拒绝原假设的决定。其出现的概率称为做出第一类错误的概率，也称为拒绝真理的概率，记录为a，即pH (w) =a，第二类错误是当原假设为假时，由于样本的随机性，样本的观测值落入非拒绝域A，从而做出原假设不能被拒绝的判定。其出现的概率称为犯第二类错误的概率，也称为取假概率，记录为β，即PH1(A)=β。

如果要求犯第一类错误的概率不超过a，由此给出的检验称为水平为a的检验，称a为显著性水平，通常取0.05，有时也可能取0.10等。

要真正理解假设检验结论的含义，就要具体理解犯两种错误的现实意义。

第一种错误的解释：一般来说，H0建立的时候，拒绝了H0，这是第一种错误。一般以a=0.05作为犯第一类错误的风险概率。

第二种错误的解释：一般来说，当H0失败时，它没有拒绝H0，这是第二种错误。

(4)给出临界值，确定拒绝域。有了显著性水平a，我们就可以根据给定的检验统计量分布，查表得到临界值，从而确定具体的拒绝域。在假设的不同替代下，拒绝域、临界值和显著性水平a的关系不同，其示意图如下图所示。

备择假设、拒绝域和显著性水平

(5)根据样本的观测值，计算检验统计量的值。收集样本数据，计算检验统计值。

(6)根据检验统计量的值是否属于拒绝域进行判断。

1)将检验统计量的值与拒绝临界值进行比较，当其落入拒绝域时，做出拒绝原假设的结论，否则，做出不能拒绝原假设的结论。

2)根据检验统计量计算P值。p是原假设成立时当前形势的概率（严格来说是当前形势或更不利形势对原假设的概率，即原假设成立时对备选假设更有利的形势）。当这个概率很小（例如小于0.05）时，在原假设成立的情况下，这个结果不应该出现在实验中。但现在确实出现了，所以有理由认为“原假设成立”的前提是错误的，所以我们应该拒绝原假设而接受替代的假设。所以有一个普遍规律：如果P<a，则拒绝原假设。目前大多数统计软件都提供了与假设检验对应的P值，不必再查统计表确定拒绝域就可以根据P值做出判断。

3)根据样本的观测值，可以得到总体参数的置信区间。如果原假设的参数值不落入该置信区间，则做出拒绝原假设的结论，否则作出保留原假设的结论。目前大多数统计软件都提供了相应的置信区间，不需要自己计算，所以用这种方法判断也很方便。

三、当总平均值进行假设检验时，确定样本量。

如果总体平均值为假设检验，用户通常会提前指定显著性水平，以确定第一类错误的概率。在此基础上，通过控制样本量，也可以控制第二类误差的概率。以下描述了如何在总平均值的单侧检验中确定样本量。

式中，μ0为原假设总体均值。

由于两类错误造成的损失类型不同，严重程度不同，不同的人对两类错误发生的概率可能会做出不同的限制。但是，在确定样本量之前，必须明确定义两种类型错误的允许概率。

在假设检验中，经常使用一个名词：探测能力。它的定义是1-β，相当于备选假设成立时不犯第二类错误的概率，或者备选假设成立时拒绝原假设的概率。

四、MINTAB提供了7种假设检验的方法：

1.单样本Z检验；

2.单样本t检验；

3.双样本t检验；

4.成对t检验；

5.单比例检验；

6.双比例检验；

7.双样本方差假设检验；

单样本Z检验/t检验：计算连续单样本总体均值或均值的假设检验的置信区间。

单个样本Z检验：

单样本t检验：

双样本t检验：计算来自不同总体均值和总和假设检验的两个连续样本的置信区间。

成对t检验：

单比例检验：对单个比例进行假设检验和置信区间的计算。

双比例检验：对两个比例间的差异进行假设检验和置信区间的计算。

双样本方差假设检验：可以进行两个样本总体方差的假设检验和置信区间的计算。